对比该乘积的两个版本的实部和虚部，就可以轻松得到三角学中标准的和角公式：
cos(θ＋φ)=cosθcosφ-sinθsinφ，
sin(θ＋φ)=cosθsinφ＋sinθcosφ。
或者，极坐标形式的复乘法可以由这些三角公式推导出。实际上，我们在这里未经证明就给出了极坐标形式下的乘法，它通常是将三角公式应用于直角坐标形式来推导出的。
现在，随着复数的使用，指数函数——或者说幂函数与看起来无关的三角函数之间的联系浮现了出来，更多的结果可以因此轻松得到。假如我们没有跨入由-1的平方根所提供的传送门，我们也许可以窥见这一联系，但却不能理解它。分别取指数函数中被称为偶的和奇的部分，就产生了所谓的双曲函数（hyperbolic function）。对于每个三角恒等式，除了符号上可能不同，都相应存在一个等价的由双曲函数表达的形式。在任何具体例子中，这都可以轻松验证。问题是为什么会发生这一现象？一类函数的行为为何会如此紧密地反映在另一类中，而后者来自完全不同的定义、具有完全不同的性质？解开这一谜团的关键在于公式eiθ=cosθ＋i sinθ，它表明指数函数和三角函数其实是紧密相连的，但这只能通过使用虚单位i做到。一旦发现了这一点（它令人惊讶，一点也不明显），用这个公式提供的两种可互换的表示方式计算，再令实部和虚部分别相等，我们就可以清楚地看到之前描述的那些结果都是顺理成章的。但要是没有这个公式，所有这些依然是个谜。